Séminaire Analyse

Soit $f$ un endomorphisme du plan projectif complexe de degré $d>1$. Son entropie topologique est $2\log(d)$ (Misiurewicz-Przytycki, Gromov) et $f$ possède une unique mesure d’entropie maximale notée $\mu$. Cette mesure est ergodique et possède deux exposants de Lyapunov qui sont minorés par $(\log d)/2$ (Briend-Duval). La mesure $\mu$ est aussi l’auto-intersection $\mu = T \wedge T$ du courant de Green $T$ de $f$. Les exposants de Lyapunov sont égaux à $(\log d)/2$ si et seulement si $\mu \lll \text{Leb}$ (Ledrappier). C'est équivalent à dire que $T$ est lisse $>0$ sur un ouvert, et c’est aussi équivalent à dire que $f$ est un exemple de Lattès (Berteloot-Loeb, Berteloot-Dupont).

Il est naturel de se demander si l’on peut caractériser de façon similaire la minimalité d’un seul exposant. R. Dujardin a démontré (2012) que l’absolue continuité de $\mu$par rapport à la trace de $T$ implique qu’un exposant est égal à $(\log d)/2$. J’ai ensuite démontré que la réciproque est vraie, donnant une première caractérisation. Les exemples connus d'applications possédant un seul exposant minimal sont donnés par des applications préservant un pinceau de droites avec une dynamique de type Lattès sur le pinceau. À partir d’une relation d'absolue continuité entre $\mu$ et $T$ (en un sens fort), on peut démontrer l’existence d’un tel pinceau avec une dynamique Lattès.

Les démonstrations sont basées sur l'utilisation de formes normales pour la dynamique, ainsi que sur la théorie du pluripotentiel. Pendant l'exposé, je reviendrai sur ces différentes notions.