La semaine de l’IMB

Image restoration consists in estimating a proper image from a degraded observation of this image. This problem can be formulated as an optimization problem with two terms. The first one encodes the knowledge on the degradation operator and the second one the knowledge on proper images. This last term is called regularization and is crucial to get high quality restoration. For a decade, deep neural networks learned to denoise images are used as regularizations. In this presentation, we will present this class of algorithm, named Plug-and-Play, and present the different theoretical convergence results that can be derived. Finally, if there is enough time, we will present the Stochastic deNOising REgularization (SNORE) and interprete it.

Le but de cet exposé sera de comprendre ce que sont les expanseurs quantiques, à quoi ils servent, et comment ils peuvent être construits. On commencera par rappeler la définition des graphes expanseurs classiques, et par expliquer comment définir des analogues quantiques de ces objets. On montrera ensuite que, aussi bien classiquement que quantiquement, des constructions aléatoires fournissent typiquement des exemples d'expanseurs optimaux. Dans le cas quantique, un tel résultat découle d'une analyse spectrale pour des modèles de matrices aléatoires avec une structure tensorielle. Enfin, on verra ce que cela implique en termes de décroissance typique des corrélations dans les systèmes quantiques 1D gouvernés par des interactions locales.

L'exposé se basera principalement sur les travaux suivants: https://arxiv.org/abs/1906.11682 (avec David Pérez-Garcia), https://arxiv.org/abs/2302.07772 (avec Pierre Youssef) et https://arxiv.org/abs/2409.17971.

La motilité cellulaire est un phénomène impliqué dans de nombreux processus biologiques tels que la propagation des cancers, la réponse immunitaire, la cicatrisation ou le développement embryonnaire. Après avoir présenté le contexte biologique, je présenterai un modèle à frontière libre en dimension 2 modélisant ce phénomène. Je présenterai des résultats sur l'existence et la stabilité d'états stationnaires. Enfin je présenterai un schéma numérique aux éléments finis permettant de réaliser des simulations numériques mettant en avant l'influence du noyau sur la motilité cellulaire.

Un fameux théorème de Laudenbach et Poénaru dit que tout difféomorphisme du bord d'un corps à 1-anses de dimension 4 s'étend en un difféomorphisme de tout le corps-en-anses. Je présenterai une nouvelle preuve de ce résultat et une généralisation aux corps de compression de dimension 4. J'expliquerai aussi en quoi ce résultat est essentiel dans la théorie des variétés compactes de dimension 4.

La complexité de la factorisation d'un polynôme bivarié se calcule habituellement en fonction du degré total ou du bidegré. Les algorithmes dits "convexe-denses" s'attachent à tenir compte du polygone de Newton. Je propose ici un algorithme qui tient compte à la fois du volume du polygone et des contraintes combinatoires induites par le théorème d'Ostrowski (le polygone du produit est la somme de Minkowski des polygones). La complexité améliore celle des différents algorithmes convexe-denses actuels, ce que j'illustrerai sur quelques exemples significatifs. Un point clé est un algorithme de factorisation w-adique rapide où w est une valuation augmentée remplaçant la valuation de Gauss usuelle, ce résultat pouvant avoir d'autres applications intéressantes.