Dans la preuve de Faltings, la conjecture de Mordell découle de la finitude à isomorphisme près des variétés abéliennes sur un corps de nombres de dimension fixée et avec bonne réduction en dehors d’un ensemble fini de premiers donné. La finitude analogue pour les courbes, conjecturée par Shafarevich, découle immédiatement par le théorème de Torelli. Par analogie ces finitudes arithmétiques ont pris depuis le nom de conjecture de Shafarevich. Jusqu’à il y a quelques années, on ne les connaissait que pour des variétés qui pouvaient être classifiées “explicitement” (e.g. K3, del Pezzo, etc.). Inspirés par une percée récente de Lawrence, Sawin et Venkatesh, avec T. Krämer on l’établit pour les variétés canoniquement polarisées à cotangent globalement engendré. Dans cet exposé, j’essaierai de mettre en avant les arguments géométriques de la preuve, concernant notamment la topologie des sous-variété des espaces de modules en question.