Institut de Mathématiques de Bordeaux

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Séminaire de Théorie des Nombres

Sur une intégrale de Ramanujan

Jean-Paul Allouche

( Orsay )

Salle de Conférences

le 03 février 2006 à 14:30

J.-P. Allouche CNRS, LRI, Bâtiment 490 F-91405 Orsay Cedex (France) http://www.lri.fr/ $\sim$ ">allouche

Dans un article paru en 2000, B. Berndt et D. Bowman calculent deux intégrales dues à Ramanujan :

$\begin{displaymath} I: = \int_0^1 \left(\frac{x^{p-1}}{1-x} - \frac{rx^{q-1}}{1-x^r} \right) dx = \psi(q/r) - \psi(p) + \log r \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} J := \int_0^{\infty} \frac{(1+ax)^{-p} - (1+bx)^{-q}}{x} dx = \psi(q) - \psi(p) + \log \frac{b}{a}. \end{displaymath}$

Ils se demandent alors, compte tenu de la similitude entre les deux membres de droite, si la première intégrale peut se déduire de la seconde. Nous répondons positivement à cette question et nous montrons que la valeur de l'intégrale

J

"> peut être déduite d'une expression classique due à Dirichlet de la fonction

\psi

"> et de l'égalité classique (conséquence simple du théorème de Frullani-Cauchy)

$\begin{displaymath} \int_0^{\infty} (e^{-ax} - e^{-bx}) \frac{dx}{x} = \log \frac{b}{a}. \end{displaymath}$

Il n'est pas sans intérêt d'indiquer deux expressions de la constante d'Euler $\gamma$ "> que l'on peut déduire du calcul de l'intégrale $I$ "> :

$\begin{displaymath} \gamma = 1 - \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{k \geq 1} x^{2^k} dx \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \gamma = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n} \left\lfloor \frac{\log n}{\log 2} \right\rfloor. \end{displaymath}$

La première de ces deux égalités remonte en fait à Catalan, la seconde est connue sous le nom de série de Vacca pour

\gamma

">.