Dans cet exposé je vous présente les résultats explicites de calcul symbolique dans les algèbres de Hecke locales pour $\mathrm{GSp}_n$ des séries génératrices concernées de la conjecture de Shimura (1963) $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)X^\delta$ et de Lemme de Rankin de genre supérieur $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)\otimes T(p^\delta)X^\delta$. Les résultats ont été obtenus sur l'ordinateur en utilisant l'application sphérique de Satake. Il s'agit d'un travail commun avec Alexei Pantchichkine.