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Séminaire de Géométrie

Linéarité et non-linéarité des groupes dautomorphismes du plan

Olivier Mathieu (Institut Camille Jordan, Lyon)

Salle 2

le 02 décembre 2022 à 10:45

"Une question classique est de déterminer à quel point les groupes d'automorphismes de variétés ressemblent aux groupes linéaires, i.e. à des sous-groupes de GL(n,K)(n,K), où KK est un corps. Ici nous nous intéresserons aux sous-groupes des automorphismes polynomiaux du plan Aut K2{\rm Aut}~K^2, i.e. des automorphismes de la forme F ⁣:(x,y)(f(x,y),g(x,y))F \colon (x,y)\mapsto (f(x,y), g(x,y)), où ff et gg sont des polynômes. Il nest guère surprenant que Aut K2{\rm Aut}~K^2 ne soit pas linéaire lorsque KK est infini. En revanche, il nétait pas attendu que le sous-groupe de ""codimension 6"" Aut1 K2{\rm Aut}_1~K^2 de tous les automorphismes FF tels que F(0)=0F(0)=0 et dF0=iddF_0 ={\rm id} soit linéaire. En fait, sauf pour des corps KK très petits, il existe une injection de Aut1 K2{\rm Aut}_1~K^2 dans SL(2,K){\rm SL}(2,K). Ce résultat est basé sur des idées de ping-pong à la Tits, ainsi que sur la théorie des groupes de Kac-Moody affines. Nous examinerons aussi la question de la linéarité des groupes contenant Aut1 K2{\rm Aut}_1~K^2. Ces phénomènes sont exceptionnels a la dimension 22. Nimporte quel sous-groupe de codimension finie de Aut K3{\rm Aut}~K^3 nest pas linéaire."