La compactification de Thurston des espaces de Teichmüller a été généralisée à de nombreux espaces de représentations, dans des travaux successifs de J. Morgan et P. Shalen, M. Bestvina, F. Paulin, A. Parreau et encore d'autres personnes. Dans le cas le plus simple de l'espace des (classes de conjugaison de) représentations d'un groupe de surface de genre $ggeq 2$ dans $PSL(2,R)$, on montre que cette compactification est très dégénérée : le bon comportement de cette compactification au bord de l'espace de Teichmüller contraste avec un comportement très sauvage au bord des autres composantes connexes de l'espace des représentations. On montre aussi qu'il est plus naturel de considérer une nouvelle compactification, qui garde en mémoire l'orientation du plan hyperbolique. Les points idéaux de cette compactification sont des arbres réels, c'est-à-dire munis d'une structure planaire.