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Séminaire de Géométrie

Pavage auto-similaires et pavages de type fini : le cas de Tribonacci

Xavier Bressaud

Salle 2

le 10 avril 2009 à 10:00

L'étude des mots infinis (dynamique symbolique) amène à distinguer en particulier deux classes de systèmes dynamiques aux propriétés assez radicalement opposées : les systèmes substitutifs (systèmes symboliques "auto-similaires") et les sous-shifts de type finis (caractérisables par des règles locales). Cette distinction est profondement remise en cause en "dimension 2", c'est-à-dire pour l'étude des pavages du plan, d'abord par l'existence de pavages apériodiques caracterisés par certaines regles locales (Robinson) puis par des résultats de Moses puis Goodman-Strauss permettant de montrer que d'importantes classes de pavages "auto-similaires" sont caractérisables par des règles locales (coloriages substitutifs de Z^2, puis pavages par polygones strictement automilaires). Les pavages autosimilaires apparaissant lors de l'étude des substitutions symboliques Pisot, en particulier ceux correspondant à des plans discrets (à pentes quadratiques), et plus spécialement le pavage dit de Tribonacci (pavage apériodique par des fractals de Rauzy), ne sont pas couverts par le résultat de Goodman-Strauss (on peut les voir comme pavages "presque auto-similaires" par des polygones ou comme pavages strictement auto-similaires, mais utilisant des tuiles fractales). Je m'efforcerai de montrer comment, en utilisant les mêmes idées, on peut adapter les résultats existants pour obtenir des règles locales caractérisant le pavage de Tribonacci.