Le but de cette exposé est d'étudier le domaine maximal d'extension méromorphe de produits eulériens de polynômes "ganzvertige" de plusieurs variables. Le prolongement méromorphe de cette classe de fonctions permet par exemple, grâce à des outils analytiques, d'obtenir des résultats intéressants en arithmétique ou en théorie des groupes. Le problème consiste dans un premier temps à trouver une expression du prolongement du produit eulérien jusqu'à un certain domaine en précisant les éventuels pôles ou zéros qui apparaissent. En donnant une condition nécessaire et suffisante sur le polynôme qui assure l'existence d'une frontière naturelle (c'est à dire une frontière au-delà de laquelle il n'existe pas de prolongement méromorphe), on étend le résultat classique d'une variable de 1928 obtenu par T. Estermann. De plus, ce travail constitue un premier pas vers la résolution d'une conjecture énoncée par Z. Rudnick et M. du Sautoy concernant le domaine de méromorphie de produits eulériens associés au comptage des sous-groupes d'un groupe donné.