Une variété projective convexe est le quotient d'un ouvert proprement convexe $\Omega$ par un sous-groupe discret de transformation projective $Gamma$. L'exemple de base de telle variété est le quotient de l'espace hyperbolique par un sous-groupe discret d'isometrie. Ces variétés possèdent une mesure naturelle. Lorsque le quotient $\Omega/Gamma$ est compact, ces objets ont été beaucoup étudiés. Je construirais des exemples de quotient $\Omega/Gamma$ non compact, de volume fini avec $\Omega$ qui n'est pas l'espace hyperbolique. Ceci nous permettra au passage de construire des sous-groupes Zariski-dense de $\mathrm{SL}_{n+1}(\R)$ qui ne sont pas des réseaux de $\mathrm{SL}_{n+1}(\R)$. Si le temps le permet, j'expliquerai ce que l'on sait en dimension 2 sur ces objets.