L'équation diophantienne $AX^{2} - BY^{2n} = C$ a une histoire très longue et riche. Il a été étudié par de nombreux chercheurs. On peut citer par exemples Ljunggren, MA Bennett, JH Chen, JHE Cohn, F. Luca, PM Voutier, PG Walsh, J. Luo, P. Yuan, Z. Zhang, ... Au cours de cet exposé, nous allons discuter des progrès récents sur l'équation diophantienne ci-dessus. En particulier, nous donnons la preuve de notre résultat sur l'équation diophantienne $X^{2} - (p^{2m} +1) Y^{6} = - p^{2m},$ où $p$ est un nombre premier et $m$ est un entier positif.