Soit $N/F$ une extension galoisienne finie de corps, de groupe de Galois $G$. Une base de $N$ sur $F$ est \textit{normale} si elle est constituée des conjugués d'un élément $\alpha$ de $N$ sous l'action de $G$, \textit{normale auto-duale} si, de plus, la trace de $N$ à $F$ des produits $\alpha g(\alpha)$ pour $g\in G$ vaut $1$ si $g$ est l'identité, $0$ sinon. Dans un premier temps, on considèrera le cas d'une extension de corps finis. On rappellera les conditions d'existence de bases normales auto-duales, et on définira la complexité de la multiplication dans une telle base. On présentera un algorithme qui construit toutes les bases normales auto-duales de l'extension (à partir d'un résultat théorique récent de Pickett), et qui permet, pour de petites valeurs de la caractéristique et du degré, de déterminer celles qui ont la plus faible complexité. Il s'agit d'un travail en commun avec François Arnault et Erik Pickett. Dans un second temps, on se placera dans le cas d'une extension cyclique de degré premier du corps des rationnels, et on s'intéressera à la complexité (globale) de la base normale auto-duale définie par Erez. Ceci est un travail en cours avec les mêmes auteurs que le précédent. Enfin, on rappellera la construction, due à Pickett, de bases normales auto-duales pour certaines extensions locales de degré premier, à l'aide de l'exponentielle de Dwork et de la théorie de Lubin-Tate, puis on montrera comment les normes-résolvantes associées à ces bases sont liées aux sommes de Gauss galoisiennes associées au corps de base. Ce résultat local a une interprétation globale en terme de structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente de certaines extensions relatives faiblement ramifiées de corps de nombres (travail en commun avec Erik Pickett).