Étant donnée une surface avec cusps S, son arc complexe A(S) est un complexe simplicial qui codifie la combinatoire des arcs simples idéaux. Le complexe des arcs est apparu dans les travaux fondamentaux de Harer, Mosher, Penner dans les années 90. Le complexe des arcs A(S) est Gromov-hyperbolique et donne un invariant de la topologie de la surface. Dans cet exposé on parlera de l'analogue du complexe des arcs pour les surfaces de (demi-)translation, c'est-à-dire le complexe des connexions de selles. On montrera que la combinatoire de ce complexe est un invariant complet de l'orbite SL$_2({\mathbb R})$ d'une différentielle quadratique dans l'espace des modules. On parlera aussi de sa géométrie grossière et de son bord de Gromov. Cet exposé sera basé sur mes travaux avec H. Pan, A. Randecker, R. Tang.