Une surface de translation s'obtient à partir de la réunion d'un ou plusieurs polygones disjoints du plan en identifiant des paires de côtés parallèles de même longueur et d'orientation opposée. La collection de polygones utilisée, ou patron de la surface, n'est pas unique car on peut découper polygonalement, translater et recoller les morceaux. Exemple de base: un tore plat de patron un carré aux côtés opposés identifiés. Découper le carré selon une diagonale fournit un patron fait de deux triangles; les recoller différemment donne un patron en parallélogramme. Ce sont là trois patrons différents pour la même surface de translation (parmi une infinité). Partant d'un octogone réunion d'un pentagone régulier et son image miroir selon un côté, identifions les côtés opposés, et voici une surface de translation de genre deux. Comme l'a montré Veech, cette surface n'admet aucun patron convexe. Quelles autres surfaces de translation n'admettent aucun patron convexe? Et comment la compréhension de la dynamique de l'action de SL(2,R) sur les espaces de modules de surfaces de translation aide-t-elle à répondre?