L'entropie volumique d'une variété riemannienne est le taux de croissance du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Depuis le début de ma thèse, je me demande si l'entropie impose certaines contraintes sur la géométrie. Ce problème, bien trop naïf, n'a aucun sens sans une quelconque normalisation. C'est pourquoi on introduit un autre invariant, le plus simple à notre disposition, le volume. La question devient alors : étudier les valeurs de l'entropie pour les métriques de volume 1. Par exemple, en 1982 dans Filling Riemannian manifolds, Gromov énonce la conjecture suivante : Soit (M,g_0) un espace localement symétrique de type non compact et compact et soit g une autre métrique sur M de même volume. Alors l'entropie de g est supérieure à celle de g_0. Cet exposé a pour objet de faire un tout d'horizon des avancées dans l'étude de ce problème. Les méthode qui existent pour prouver (pour l'instant partiellement) ce résultat sont variées : techniques d'analyse sur les variétés, cohomologie bornée, géométrie kählérienne. Une des idées décisives consiste à introduire un invariant de la structure différentielle de M, le volume sphérique, qui ressemble au volume simplicial de Gromov, mais qui est plus maniable dans ce cas-là.