Soit X une variété de type général. On conjecture que le degré canonique deg(C) d'une courbe C "générique" sur X est majoré linéairement en son genre géométrique g(C). Cette inégalité deg(C) < A.g(C)+B est connue de Bogomolov pour certaines surfaces. Miyaoka la démontre avec A=3+\epsilon lorsque X est une surface minimale et C est lisse. Une conjecture de Vojta prédit l'inégalité avec A=2+\epsilon dans le cas où X fibre sur une courbe et C est de gonalité bornée. Dans ce travail, on montre par des exemples qu'en général, la constante A doit être au moins 2dim(X). On prouve aussi l'inégalité désirée dans le cas des variétés de Shimura projectives.