Soit $\mathbb{A}^2$ le plan affine sur un corps algébriquement clos (de caractéristique arbitraire). Soit $\mathrm{Bir}(\mathbb{A}^2)$ l'ensemble des morphismes birationnels $f : \mathbb{A}^2\to \mathbb{A}^2$, muni de l'opération ``$\circ$'' de composition des morphismes. Alors $\mathrm{Bir}(\mathbb{A}^2)$ est un mono"{\i}de dont le groupe des éléments inversibles est $\mathrm{Aut}(\mathbb{A}^2)$. L'étude de ces morphismes et de ce mono"{\i}de a d'ebuté dans les années 1970, dans le séminaire d'Abhyankar à l'Université Purdue. L'exposé donnera un aper\c{c}u des connaissances dans ce domaine ainsi que quelques résultats récents obtenus conjointement avec Pierrette Cassou-Noguès.