On s'intéresse la reconstruction de flux (i.e., d'un vecteur de H(div)) satisfaisant
une propriété de conservation locale et calculé par un post-process local à partir de
la solution éléments finis d'un problème donné. Une des applications importantes de
tels flux est dans l'analyse d'erreur a posteriori et le raffinement adaptatif de maillage,
puisque la norme L2 de la différence entre le flux numérique et le flux reconstruit
constitue un estimateur d’erreur a posteriori, qui majore l'erreur avec une constante
de fiabilité égale à 1.

Dans cet exposé, on présentera une méthode de construction basée sur une
formulation mixte équivalente à la formulation de départ et dont le
multiplicateur, défini sur les arêtes du maillage, est utilisé pour définir de manière
naturelle le flux dans l'espace de Raviart-Thomas. D'une part, cette approche
fournit un cadre unifié  pour les méthodes d'éléments finis classiques (conformes,
non-conformes et de Galerkin discontinues) d'ordre quelconque et permet
d'établir des liens entre ces divers flux. D'autre part, contrairement aux méthodes
existantes, elle ne nécessite la résolution d'aucun problème mixte (local ou global).

Après avoir décrit l'approche pour l'opérateur de Laplace, on présentera son
extension à d'autres problèmes-modèle : diffusion avec coefficients discontinus
dûs à la présence d'interfaces, problème de Poisson où la frontière
ne suit pas le maillage et l'approximation est réalisée à l’aide de la méthode CutFEM,
problème de contact où la condition de bord est non-linéaire.
On illustrera les résultats théoriques par des tests numériques.