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Séminaire de Géométrie

Tissus du plan et surfaces projectives

Alain HENAUT

( IMB )

Salle 2

le 06 juin 2014 à 10:45

{\it R'{e}sum'{e}} \smallskip On s'int'{e}resse \`{a} la classification des dd-tissus W(d){\cal W}(d) du plan, c'est-\`{a}-dire la donn'{e} locale dans \bbC2{\bb C}^2 ou globale dans \bbP2:=\bbP2(\bbC){\bb P}^2:={\bb P}^2({\bb C}) de dd feuilletages en position g'{e}n'{e}rale. Les feuilles d'un tel W(d){\cal W}(d) sont implicitement les courbes int'{e}grales d'une '{e}quation diff'{e}rentielle analytique ou alg'{e}brique non lin'{e}aire F(x,y,y)=0F(x,y,y')=0, polynomiale en yy' de degr'{e} dd. Le rang du syst\`{e}me local des {\it relations ab'{e}liennes} du tissu W(d){\cal W}(d) est un invariant de borne optimale πd:=12(d1)(d2)\pi_d:={1\over 2}(d-1)(d-2) d'apr\`{e}s le th'{e}or\`{e}me d'addition d'Abel. Ces relations, en rang maximal avec d4d\geq 4, d'{e}terminent un morphisme \gothu:(\bbC2,0)\bbPˇπd1{\goth u}:({\bb C}^2,0)\longrightarrow \check{\bb P}^{\,\pi_d-1} associ'{e} \`{a} W(d){\cal W}(d) qui param\`{e}tre une surface projective, transcendante en g'{e}n'{e}ral, dont on pr'{e}sentera des propri'{e}t'{e}s et le cas o\`{u} \gothu\goth u est de Veronese. Inversement certains f:(\bbC2,0)\bbPˇπd1f:({\bb C}^2,0)\longrightarrow \check{\bb P}^{\,\pi_d-1}, \`{a} osculation maximale, engendrent des dd-tissus Wf(d){\cal W}_f(d) dont les feuilles correspondent sur la surface induite SfS_f \`{a} des (d4)(d-4)-courbes principales qu'on d'{e}finira. On caract'{e}risera, \`{a} l'aide de la seule courbure de Blaschke g'{e}n'{e}ralis'{e}e, les Wf(d){\cal W}_f(d) dont le rang est maximal. Dans le cadre alg'{e}brique avec par exemple d=5d=5, la correspondance qui pr'{e}c\`{e}de fait appara\^{i}tre des surfaces rationnelles Sf\bbPˇ5S_f\subset \check{\bb P}^5 ayant des hypersurfaces duales Sˇf\bbP5\check S_f\subset {\bb P}^5 sp'{e}cifiques dont on motivera l''{e}tude.