On s'intéresse aux équations d'Euler avec un terme de gravité. Ce système admet de nombreux états d'équilibre qui ne sont pas tous connus de manière explicite. Le but de ce travail est de construire un schéma numérique qui capture de manière précise tous les états d'équilibre et de manière exacte certains états d'équilibre particulièrement importants d'un point de vue physique. Afin d'obtenir un schéma numérique ayant ces propriétés, on introduit plusieurs modèles de relaxation qui mènent tous au même solveur de Riemann approché et par conséquent au même schéma numérique. De plus, tous ces modèles de relaxation ont le point commun de laisser un degré de liberté qui permet d'obtenir la propriété well-balanced souhaitée. On montrera par ailleurs que le schéma ainsi construit préserve la positivité de la densité et de l'énergie interne et qu'il est entropique. La pertinence de ce schéma sera illustrée par plusieurs tests numériques et on conclura en disant quelques mots sur les extensions possibles à l'ordre deux et en deux dimensions d'espace.