Il y a quelques années, Alexander Schmidt a donné un critère pour qu'un pro-$p$-groupe soit mild au sens de John Labute et introduit la propriété $K(\pi,1)$ afin d'obtenir des pro-$p$-groupes $G_S^T(K)(p)$ de dimension cohomologique égale à $2.$ Dans notre exposé, nous montrerons comment ces résultats interviennent dans la théorie asymptotique des corps globaux initiée par Ihara, Tsfasman et Vladuts, puis nous les adapterons à d'autres contextes arithmétiques. Les résultats que nous présenterons sont pour certains obtenus avec Schmidt et pour d'autres avec Blondeau et Maire.