On dit qu'un morphisme F: $\mathbb{A}^2 --> \mathbb{A}^1$ (du plan affine vers la droite affine) est "génériquement rationnel" si la fibre de F au-dessus du point générique de $\mathbb{A}^1$ est une courbe rationnelle, et qu'il est "généralement rationnel" si, pour presque tous les points fermés $P$ de $\mathbb{A}^1$, la fibre de F au-dessus de $P$ est une courbe rationnelle. On sait depuis longtemps que ces deux concepts sont équivalents en caractéristique zéro mais pas en caractéristique positive. Je donnerai quelques résultats sur les morphismes génériquement ou généralement rationnels en caractéristique positive, et ferai le parallèle avec des résultats analogues concernant d'autres classes de courbes intéressantes, notamment les droites exotiques.