Etant donné un entier $q$, une conjecture hautement spéculative (souvent appelée LI, pour Linear Independence) affirme que, lorsque $\chi$ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs modulo $q$, le multi-ensemble formé des parties imaginaires positives des zéros critiques de $L(s,\chi)$ est libre sur $\mathbb{Q}$. Dans cet exposé nous étudions un analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Précisément, si $K=\mathbb{F}_q(C)$ est le corps de fonctions d'une courbe fixée $C/\mathbb{F}_q$, on s'intéresse à certaines familles algébriques de courbes elliptiques $E/K$ définies par Katz, et à la fonction $L$ de Hasse-Weil $L(E,s)$ associée à chacune de ces courbes. Nous montrons, en un sens quantitatif fort, que l'analogue de LI est vrai génériquement pour $L(E,s)$ dans les familles choisies. On parlera également du rôle joué par LI dans l'étude de variantes géométriques du biais de Chebyshev. (Dans le cas classique, c'est le phénomène de prépondérance dans la plupart des intervalles $[1,X]$, des premiers congrus à 3 modulo 4 par rapport aux premiers congrus à 1 modulo 4.) Il s'agit d'un travail commun avec Byungchul Cha et Daniel Fiorilli.