Dans son article important mais peu connu "Flat surfaces (1993)", Veech généralise aux surfaces de Riemann de genre g quelconque le cadre géométrique dans lequel s'inscrivent certains résultats de Deligne et Mostow (sur les fonctions hypergéométriques) d'une part, et des résultats essentiellement équivalents (mais énoncés en termes d'espaces de modules de surfaces plates de genre 0) obtenus par Thurston d'autre part. Dans un travail récent en collaboration avec S. Ghazouani, nous avons rendu explicites les constructions de Veech dans le cas du genre 1 et avons généralisé à ce cas l'"approche hypergéométrique" de Deligne et Mostow ainsi que l'"approche géométrique" à la Thurston en termes de surfaces plates. Dans l'exposé, nous donnerons un aperçu des résultats que nous avons obtenus, en insistant davantage sur l'"approche hypergéométrique" qui permet de donner une description très explicite des objets considérés. À noter que, à l'instar du cas g=0, le cas g=1 entretient des liens avec la géométrie hyperbolique complexe, ce qui le rend d'autant plus intéressant. Nous tacherons de les évoquer.