La dynamique dans les billards polygonaux est reliée à la dynamique sur les espaces de modules de surfaces plates. Le calcul du volume de ces espaces de modules est utile pour les applications à la dynamique des billards, et fait intervenir de dénombrement des surfaces à petits carreaux. Je présente plusieurs résultats sur les surfaces à petits carreaux en relation avec ces problèmes (travail en collaboration avec M. Möller, et avec V. Delecroix, P. Zograf, A. Zorich), et explique leur relation avec l'étude asymptotique des volumes quand le genre des surfaces tend vers l'infini.