On détermine la structure locale des variétés $p$-adiques de Hecke-Hilbert associées à un corps totalement réel $F$ en certains points correspondant aux séries thêta de poids $1$ régulières en $p$ et on donne quelques applications. Lorsque $F=\Q$, on donne aussi un critère précis qui permet de déterminer l'indice de ramification de la courbe de Hecke en les points correspondant aux séries thêta régulières en $p$ et qui ont une multiplication réelle par un corps quadratique réel dans lequel $p$ se décompose.