Dans cet exposé, on s'intéressera à des relations d'entrelacement entre processus de naissance-mort et gradient discret. Ces relations, qui peuvent être vues comme un raffinement du critère de Bakry-Emery, existent au premier ordre ; on établit l'analogue au second ordre, pour le Laplacien discret. La principale application concerne les facteurs de Stein associés aux mesures de probabilité sur N. L'évaluation de ces facteurs est une étape-clé de la méthode de Stein, qui permet de majorer la distance entre deux mesures de probabilité.