Sous certaines conditions naturelles, des sommes courtes de fonctions trace ℓ-adiques sur les corps finis suivent asymptotiquement une distribution normale quand l'origine varie, généralisant notamment des résultats d'Erdős-Davenport, Mak-Zaharescu et Lamzouri. Cela s'applique en particulier à des sommes exponentielles comme les sommes de Kloosterman ou les sommes de Birch. La démonstration se base sur une application de la généralisation par Deligne de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis aux poids de faisceaux ℓ-adiques.