Comment déplacer un tas de terre d'une configuration à une autre à moindre coût? Cette question est à l'origine du problème du transport optimal. Une fois défini formellement, celui-ci fournit un certain nombre d'outils, d'intérêt théorique et applicatif, pour manipuler les mesures de probabilité sur un espace métrique. L'objet de cet exposé est de montrer comment ces outils s'étendent au cas de mesures positives de masse quelconque. Dans un premier temps, nous verrons différentes approches pour aborder ce cadre (formulations de couplage, de "lifting" ou dynamiques) ainsi que les relations qui les lient. Nous introduirons en particulier une famille de métriques analogues aux métriques de Wasserstein. Dans un second temps, nous verrons comment étendre l'algorithme de Sinkhorn pour résoudre numériquement ce nouveau genre de problèmes. Nous conclurons avec des applications aux barycentres et flots de gradient dans l'espace des mesures positives. Cet exposé ne suppose pas de prérequis sur la théorie du transport optimal.