Nous allons nous intéresser à une limite d'échelle d'une équation aux dérivées partielles modélisant la dynamique d'une population structurée par un trait quantitatif et sujette à mutations. Dans la limite d'échelle des petites mutations et du temps long, ce type d'équation donne lieu à des équations de Hamilton-Jacobi avec contraintes (Dieckmann et al, 2005). Dans ce travail, nous donnons une représentation de la solution de cette EDP comme l'espérance d'une fonctionnelle d'un processus stochastique (mouvement Brownien si l'opérateur de mutation est un Laplacien). La limite d'échelle peut alors être étudiée grâce à des estimées de grandes déviations, et nous obtenons ainsi une caractérisation variationnelle du problème de Hamilton-Jacobi limite. Dans certain cas simples, nous sommes alors en mesure de démontrer l'unicité de la solution du problème variationnel.