Je décrirai dans cet exposé les résultats obtenus avec Clément Mouhot pour un modèle jouet non-linéaire en théorie cinétique. Ce modèle a plusieurs points communs avec l'équation de Landau : il y a une diffusion uniquement en la variable vitesse et un terme de transport libre, les équilibres sont gaussiens et les coefficients dépendent de façon intégrale de la solution. Il est néanmoins plus simple à plusieurs égards. Nous montrerons comment résoudre le problème de Cauchy grâce à des estimées de type de Giorgi et d'autres de type Schauder