Je présenterai un travail commun avec Antoine Chambert-Loir dans lequel nous développons un formalisme des (p,q)-formes sur les espaces de Berkovich. Nous y définissons l'intégrale d'une (n,n)-forme (où n est la dimension de l'espace ambiant) ainsi que l'intégrale de bord d'une (n-1, n)-forme et y prouvons des formules de Stokes et Green. Ceci permet de définir une théorie des courants, d'établir une formule de Poincaré-Lelong, de définir les courants de courbure de fibrés métrisés raisonnables, de les multiplier dans certains cas par des techniques à la Bedford-Taylor, de définir des mesures de Monge-Ampère... Après un survol de la théorie et une description de nos constructions de base, j'évoquerai nos progrès récents.