En géométrie algébrique, on étudie les variétés algébriques X et les isomorphismes entre telles variétés, ou plus généralement les applications birationnelles. Si X est une variété algébrique, le groupe Bir(X) des transformations birationnelles de X est donc naturellement l'objet qui représente les "symétries" de X. Lorsque X est une variété de type général, alors Bir(X) est un groupe fini. Au contraire, si X est rationnelle, ou plus généralement si X a une une structure de fibration en coniques, alors Bir(X) est très grand: il est même de dimension infinie. On peut alors se demander si le groupe est simple et si non, quels sont les quotients possibles. J'expliquerai que pour X de dimension au moins 3, le groupe Bir(X) admet énormément de quotients, notamment tous les groupes dénombrables engendrés par des involutions (Travail en commun avec Stéphane Lamy et Susanna Zimmermann).