Le but de l'exposé est de présenter les analogies et les différences dans l'approche mathématique des lois de conservation locaux d'ordre un ou deux (problèmes de convection-diffusion non linéaires) et celles de leurs analogues non locaux, connus sous le nom des lois de conservation fractionnaires. Il sera surtout question des solutions entropiques, cinétiques et renormalisées -chacune de ces notions pouvant être adaptée au cadre fractionnaire- et de la bonne position des problèmes de Cauchy sous-jacents. Travaux en commun avec N. Alibaud (Besançon), M. Bendahmane (Bordeaux) et A. Ouedraogo (Bobo-Dioulasso, Burkina-Faso).