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Séminaire de Géométrie

Propriétés arithmétiques du centralisateur d'une dilatation lisse de la demi-droite $[0,+\infty[$

Hélène Eynard-Bontemps

( IMJ )

Salle 2

le 15 mars 2019 à 10:45

Les actions lisses du groupe abélien Z2\mathbb{Z}^2 sur la demi-droite [0,+[[0,+\infty[ apparaissent comme représentations d'holonomie de feuilletages en surfaces de variétés de dimension 3 dans un voisinage unilatéral d'une feuille torique. Pour étudier ces actions et leurs déformations possibles, on peut s'intéresser au centralisateur d'un difféomorphisme de la demi-droite donné, en commençant par le cas particulier des dilatations et contractions, i.e. des difféomorphismes fixant uniquement 00. La régularité est déterminante dans cette étude. Nous verrons notamment dans un premier temps qu'alors que le centralisateur (C1C^1) d'une dilatation C1C^1 peut contenir un groupe libre à deux générateurs, celui (lisse) d'une dilatation lisse ff s'identifie canoniquement à un sous-groupe de R\mathbb{R} : l'ensemble des temps lisses du flot d'un champ de vecteurs C1C^1 de la demi-droite, dont ff est le temps 11 (résultat dû à Szekeres et Kopell, dans les années 50-60). Nous verrons ensuite que cet ensemble peut, sans être R\mathbb{R} tout entier, contenir, en plus des entiers (correspondant aux itérés de ff), des nombres irrationnels, mais pas n'importe lesquels. Il nous faudra pour cela séparer les irrationnels en deux catégories : les nombres diophantiens, et les autres, les nombres de Liouville.