Propriétés arithmétiques du centralisateur d'une dilatation lisse de la demi-droite $[0,+\infty[$
Les actions lisses du groupe abélien
sur la demi-droite
apparaissent comme représentations d'holonomie de feuilletages en surfaces de variétés de dimension 3 dans un voisinage unilatéral d'une feuille torique. Pour étudier ces actions et leurs déformations possibles, on peut s'intéresser au centralisateur d'un difféomorphisme de la demi-droite donné, en commençant par le cas particulier des dilatations et contractions, i.e. des difféomorphismes fixant uniquement
. La régularité est déterminante dans cette étude. Nous verrons notamment dans un premier temps qu'alors que le centralisateur (
) d'une dilatation
peut contenir un groupe libre à deux générateurs, celui (lisse) d'une dilatation lisse
s'identifie canoniquement à un sous-groupe de
: l'ensemble des temps lisses du flot d'un champ de vecteurs
de la demi-droite, dont
est le temps
(résultat dû à Szekeres et Kopell, dans les années 50-60). Nous verrons ensuite que cet ensemble peut, sans être
tout entier, contenir, en plus des entiers (correspondant aux itérés de
), des nombres irrationnels, mais pas n'importe lesquels. Il nous faudra pour cela séparer les irrationnels en deux catégories : les nombres diophantiens, et les autres, les nombres de Liouville.