Nous estimons des contrastes du type $\int_0 ^1 \rho(F^{-1}(u)-G^{-1}(u))du$ entre deux distributions de probabilités $F$ et $G$ sur $\mathbb R$ telles que l'ensemble $\{F=G\}$ est une union finie d'intervalles, éventuellement vide ou $\mathbb{R}$. La fonction de coût $\rho$ est positive, nulle en $0$, convexe et n'est pas nécessairement symétrique. L'échantillon observé provient d'une distribution jointe $H$ sur $\mathbb{R}^2$ de marginales $F$ et $G$ compatibles avec l'existence du contraste. Nous obtenons les taux de convergence en loi et les distributions limites dans de nombreuses situations incluant les distances de Wasserstein $W_1$ et $W_2$. Nous décrivons précisément le cas $F=G$ qui dépend du comportement de $\rho$ en $0$, que nous supposons à variation régulière entre $1$ et $2$, ceci en relation avec les queues de probabilités de $F$ et $G$. Les vitesses de convergence sont à variation régulière entre $1/2$ et $1$. La distribution limite dépend de $\rho$ en $0$ et de $H$.