Le dixième problème de Hilbert pour le corps des nombres rationnels pose la question de l'existence d'un algorithme décidant si une équation diophantienne homogène possède une solution en nombres rationnels non tous nuls. Ce problème est toujours ouvert. Fixons le degré $d$ et le nombre d'inconnues $m$ des équations considérées. Poonen et Voloch ont conjecturé que si $m>d$ et si les équations diophantiennes sont choisies aléatoirement alors, avec probabilité $1$, l'algorithme vérifiant l'existence de solutions non triviales partout localement devrait donner la réponse exacte à la question de l'existence d'une solution rationnelle non triviale. Je décrirai un travail récent en commun avec Tim Browning et Will Sawin dans lequel nous utilisons des méthodes de géométrie des nombres pour établir cette conjecture pour presque toutes les valeurs de $d$ et $m$.