Mazur a conjecturé, après la démonstration de la conjecture de Mordell-Weil par Faltings, que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre g définie sur un corps de nombres de degré d est borné par g, d et le rang de Mordell-Weil. Dans cet exposé je vais expliquer comment démontrer cette conjecture. J'insisterai sur les applications de la théorie de transcendance sur les corps de fonctions et de la théorie d'intersections atypiques dans la preuve. Il s'agit d'un travail en commun avec Vesselin Dimitrov et Philipp Habegger.