Dans cet exposé, on s'intéressera à un opérateur de Schrödinger avec un potentiel à valeurs complexes qui décroit rapidement à l'infini. On supposera que ce modèle non auto-adjoint possède une valeur propre zéro et de résonances réelles positives. On entend par résonance réelle un nombre positif pour lequel l'opérateur possède une fonction propre généralisée qui n'est pas de carré intégrable. Ces valeurs réelles forment un obstacle pour l'analyse spectrale de l'opérateur de Schrödinger non auto-adjoint. On présentera d'abord des résultats sur les développements asymptotiques de la résolvante au seuil zéro et près de résonances réelles positives. Puis, on déduira l'asymptotique en temps long de la solution de l'équation de Schrödinger associée.