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Séminaire de Géométrie

Sous-variétés totalement géodésiques de $mathcal M_{g,n}$ (rodage Bourbaki)

Elise Goujard

Salle 2

le 09 avril 2021 à 10:00

Soit Mg,n\mathcal M_{g,n} l'espace de module des surfaces de Riemann de genre gg à nn points marqués. Une sous-variété de Mg,n\mathcal M_{g,n} est dite totalement géodésique si elle contient toutes les géodésiques de Teichmüller qui lui sont tangentes. Les sous-variétés totalement géodésiques de dimension (complexe) 1, appelées courbes de Teichmüller, sont relativement bien étudiées depuis les premières constructions de Veech dans les années 80 ; elles sont en particulier infiniment nombreuses dans chaque espace de module Mg,n\mathcal M_{g,n}. Récemment, Wright a montré, en s'appuyant sur des résultats de finitude d'Eskin, Filip et Wright, qu'en dimension plus grande, ce n'était plus le cas : il n'y a qu'un nombre fini de telles sous-variétés dans chaque Mg,n\mathcal{M}_{g,n}. Un premier exemple de telle sous-variété primitive de dimension 2 dans M1,3\mathcal{M}_{1,3} a été construit par McMullen, Mukamel et Wright à partir de courbes cubiques projectives ; Eskin, McMullen, Mukamel et Wright ont ensuite trouvé deux autres exemples de telles sous-variétés.