Soient S une surface algébrique, V le Q-espace vectoriel des diviseurs sur S modulo équivalence numérique et d la dimension de V. Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur V. Le théorème de l'indice de Hodge dit qu'il est de signature (1,d-1). Dans les années soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés de dimension arbitraire. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge-Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. A l'aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question de signature en un problème p-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge p-adique. Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre.