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Séminaire de Géométrie

Covariant de Kempf-Ness et théorie de la réduction

Anne-Edgar Wilke (IMB, Bordeaux)

Salle 2

le 21 octobre 2022 à 10:45

"Cet exposé sera motivé par une question de nature arithmétique. Etant donnée une action d'un groupe algébrique réductif GG sur une variété algébrique XX, tous deux définis sur un corps de nombres kk, on cherche à  construire une théorie de la réduction pour l'action de certains sous-groupes arithmétiques de G(k)G(k) sur X(k)X(k) : plus précisément, on cherche un moyen de choisir dans chaque orbite un point particulier, que l'on qualifie de réduit, de sorte qu'il soit aussi facile que possible de vérifier si un point donné est réduit, et s'il ne l'est pas, de calculer le point réduit qui lui est équivalent. Je montrerai comment ramener ce problème arithmétique à  une question purement géométrique : étant donnée une action d'un groupe de Lie holomorphe réductif GG sur une variété holomorphe XX, il s'agit de construire une application GG-équivariante de XX dans l'espace symétrique K\GK \backslash G, où KK est un sous-groupe compact maximal de GG. Sous des hypothèses supplémentaires, je construirai ensuite une telle application : le covariant de Kempf-Ness. Enfin, j'étudierai en détail l'exemple de l'action de SLn(C)\mathrm{SL}_n(\mathbb{C}) sur un produit de grassmanniennes Grki,n(C)\mathrm{Gr}_{k_i, n}(\mathbb{C}) ; dans ce cas, un élément de XX peut être vu comme une distribution de masses sur le bord à  l'infini de l'espace symétrique, et le covariant de Kempf-Ness s'interprète comme le barycentre de cette distribution."