Il est maintenant bien établi que les variétés complexes dont le groupe fondamental admet de "grosses" représentations tendent à avoir de fortes propriétés d'hyperbolicité complexe. Cela a mené dans les dernières années à d'importants travaux de Campana, Claudon, Eyssidieux, Brunebarbe, Deng, Yamanoi...
Je présenterai ici un travail en commun avec Y. Deng et K. Yamanoi, dans lequel on montre notamment de telles propriétés d'hyperbolicité algébrique et transcendante pour des variétés quasi-projectives, sous l'hypothèse de l'existence d'une telle représentation. Comme souvent dans cette théorie, la preuve repose sur des outils de nature archimédienne (la théorie des variations de structures de Hodge) et non-archimédienne (utilisant les applications harmoniques à valeurs dans les immeubles), qu'il s'agit de développer ici dans un cadre ouvert.