Nous présentons les travaux récents de Chodosh-Li et Chodosh-Li-Liokumovich sur la courbure scalaire en dimension 4 et 5. La problématique générale est :

Quelles variétés admettent des métriques riemanniennes complètes de courbure scalaire strictement positive ?

En dimension 3, après les grandes avancées de Schoen et Yau et de Gromov et Lawson dans les années 80, la question a finalement été résolue par Perelman (pour les variétés fermées) : ce sont les sommes connexes de $\mathbf{S}^2 \times \mathbf{S^1}$ et de $\mathbf{S}^3/\Gamma$, $\Gamma \subset SO_4({\mathbb R})$. Les travaux présentés investiguent des généralisations de cette classification en dimension 4 et 5.