Il y a dix ans, Blanc et Furter ont démontré que le groupe des transformations birationnelles de l'espace projectif (i.e. le groupe de Cremona) de dimension $n\ge2$ n’est pas un (ind-)groupe algébrique.
Depuis, plusieurs nouvelles approches ont été développées pour étudier les sous-groupes algébriques connexes maximaux des groupes de Cremona, notamment avec des méthodes de géométrie birationnelle.
Dans cet exposé, j'examinerai les progrès récents dans ce domaine et présenterai un projet en commun avec E. Floris et S. Zimmermann, où on démontre un lien entre l'existence de variétés stablement rationnelles non rationnelles et la structure des sous-groupes algébriques connexes maximaux dans les groupes de Cremona.