Dans cet exposé, j'introduirai une notion de renormalisation totale - dont un exemple élémentaire est l'induction de Rauzy sur les échanges d’intervalles - puis une construction (à la Douady-Ghys) d'ouverts de difféomorphismes totalement renormalisables sur les variétés $V$ de la forme $S^1 \times M$.
J'expliquerai comment, en concaténant ces difféomorphismes par chirurgie, on obtient un groupe $P$ de difféomorphismes qui sont renormalisations totales de perturbations de l'identité. A priori ce n'est pas un groupe de Lie, mais on lui associe une algèbre de Lie (de dimension infinie) dont des propriétés de rigidité impliquent, avec un peu d'analyse de Fourier, que $P=\mathrm{Diff}_0(V)$.
On en déduit en substance que les dynamiques isotopes à l’identité sont les dynamiques proches de l’identité. Ceci répond à des questions de Takens-Ruelle, Turaev, Katok-Thouvenot (Collaboration avec Pierre Berger et Mathieu Helfter).