Séminaire de Géométrie
Sections de Weierstrass pour certaines contractions de Inönü-Wigner
Florence Fauquant-Millet
( (Saint-Etienne) )Salle 2
le 19 avril 2024 à 10:45
En théorie des invariants, on est parfois amené à s'intéresser à la polynomialité de l'algèbre des invariants des fonctions polynomiales sur un espace vectoriel complexe de dimension finie, par l'action d'un groupe linéaire algébrique . Par exemple si est connexe, semi-simple agissant par l'action adjointe (ou coadjointe) sur son algèbre de Lie (isomorphe à son dual), un théorème célèbre de Chevalley permet de conclure que l'algèbre des invariants est une algèbre de polynômes. D'autre part, un théorème de Kostant permet d'établir un isomorphisme d'algèbres entre et l'algèbre des fonctions polynomiales sur une "tranche de Kostant", par restriction des fonctions à cette tranche : cela donne ce que l'on peut nommer aussi une "section de Weierstrass" pour . Je passerai d'abord en revue quelques exemples ou contre-exemples de polynomialité de certaines algèbres d'invariants obtenues en faisant agir sur le dual de son algèbre de Lie par l'action coadjointe, et donnerai quelques exemples de sections de Weierstrass obtenues dans le cas de certaines sous-algèbres paraboliques. Je définirai ensuite la contraction d'Inönü-Wigner d'une sous-algèbre parabolique d'une algèbre de Lie simple, que l'on peut voir comme une certaine dégénérescence de . En m'appuyant sur des techniques employées pour les sous-algèbres paraboliques, je tenterai d'expliquer comment on peut obtenir des (semi)-invariants pour le cas où est le dual de la contraction d'Inönü-Wigner d'une sous-algèbre parabolique sur lequel agit le groupe adjoint de la contraction. En particulier, pour les contractions d'Inönü-Wigner de certaines sous-algèbres paraboliques maximales (notamment en type B), je donnerai des sections de Weierstrass pour les algèbres de semi-invariants correspondantes, ce qui prouvera en particulier la polynomialité de ces algèbres de semi-invariants. Ceci est un travail en cours, dont une partie se trouve sur arXiv :