Les matroïdes sont des objets de nature combinatoire, qui peuvent par exemple encoder les incidences d'arrangements de droites ou de points du plan.
Les courbes elliptiques modulaires $X_1(n)$ paramètrent à isomorphisme près les paires (E,t) où E est une courbe elliptique et t un point de torsion d'ordre $n$. La surfaces elliptique modulaire au dessus de $X_1(n)$ est une surface munie d'une fibration dans $X_1(n)$ dont la fibre au-dessus du point (E,t) est (isomorphe à) la courbe E.
Les courbes $X_1(n)$ sont biens connues, elles s'obtiennent par uniformisation complexe : $X_1(n)$ est quotient du demi plan par l'action d'un groupe de congruence, $\Gamma_1(n)$. Les surfaces elliptiques modulaires ont été construites par Shioda, également par uniformisation complexe.
Dans cet exposé j'expliquerai comment il est aussi possible d'obtenir à l'aide de la théorie des matroïdes un modèle entier des courbes $X_1(n)$ et des surfaces elliptiques modulaires.
Pour $n$ petit, cette construction permet d'obtenir les relations polynomiales explicites entre formes modulaires de poids 1 sur le groupe $\Gamma_1(n)$.
Travaux en partie en collaboration avec Lukas Kühne et avec Lev Borisov.