La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit un lien entre les points rationnels d'une variété abélienne et les valeurs spéciales de sa fonction L. Cette conjecture est réputée difficile, nous commencerons donc par voire comment l'attaquer à l'aide d'une conjecture intermédiaire où l'on se focalise en un nombre premier $p$. Ensuite, nous verrons comment dans le cas des surfaces abéliennes on peut obtenir une preuve de cette conjecture (la conjecture intermédiaire) en faisant varier $p$-adiquement une classe de cohomologie galoisienne obtenue à partir de la cohomologie de la variété de Shimura de GSp(4).