Un sous-ensemble $A$ de $\mathbf{N}$ est dit dense s’il est de densité asymptotique supérieure positive, et épars s’il est de densité nulle. Un théorème classique de Furstenberg et Sarközy dit que si $A$ est dense, alors il existe des éléments distincts $a, a'$ dans $A$ tels que $a-a' = n^2$ pour un certain entier $n$. Un ensemble $H$ d'entiers positifs est dit intersectif si l'on peut remplacer l'ensemble des carrés par $H$ dans le théorème de Furstenberg-Sarközy, autrement dit si $(A-A) \cap H$ est non vide. L'étude des ensembles intersectifs se trouve à l'intersection de plusieurs domaines de mathématiques, y compris la théorie des nombres, la combinatoire et la théorie ergodique.

Dans cet exposé, je discuterai dans quelle mesure ce phénomène est toujours valable, lorsque $A$ est un sous-ensemble dense de l'ensemble des nombres premiers, ou plus généralement d'un ensemble épars quelconque $E$ (à la place de $\mathbf{N}$). Il s'agit d'un travail en commun avec J. T. Griesmer, P.-Y. Bienvenu et A. Le.